Funksjonalanalyse

Dette emnet gir de matematiske grunnlagene for analyse av uendelig-dimensjonale systemer, med anvendelser innen operatorteori, kvantemekanikk og kvanteinformasjon. Fokus ligger på sentrale verktøy i funksjonalanalyse - dualitet, svake topologier, kompakte operatorer og grunnleggende teoremer om begrensede lineære operatører - som danner basis for videre studier av C*-algebraer, von Neumann-algebraer, kvantetilstander og fullstendig positive avbildninger.

1. Kunnskap

Studenten har inngående kunnskap om sentrale resultater og begreper i funksjonalanalyse, blant annet:

• Hahn-Banach-teoremet
• Teoremene om åpen avbildning og lukket graf
• Banach-Steinhaus-teoremet (Uniformt begrensningsprinsipp)
• Dualrom og svak/svak*-konvergens
• Banach-Alaoglu-teoremet og kompaktitet i dualrom
• Spektralteoremet for kompakte selvadjungerte operatorer

Studenten forstår hvordan disse resultatene utgjør det grunnleggende rammeverket for operatoralgebraer og de matematiske fundamentene for kvanteteori og kvanteinformasjon.

2. Ferdigheter

Studenten kan:

• anvende grunnleggende teoremer fra funksjonalanalyse for å løse matematiske problemer som involverer lineære operatører på uendelig-dimensjonale rom,
• bruke dualitet, svak konvergens og teori for kompakte operatorer i studiet av operatoralgebraer og kvantetilstander,
• analysere strukturen til begrensede lineære operatører slik de opptrer i kvantemekanikk og kvanteinformasjon(f.eks. tetthetsoperatorer, målinger, kompakte approksimasjoner og spektraloppdelinger).

Forelesninger, øvinger og skriftlig avsluttende eksamen.