Analytisk tallteori

Analytisk tallteori dreier seg om å forstå og beskrive primtallenes fordeling, basert på bruk av matematisk analyse. Sentralt står studiet av Riemanns zeta-funksjon, som uttrykker både heltallenes additive og multiplikative struktur. Det viser seg at beliggenheten til nullpunktene til denne meromorfe funksjonen er nært forbundet med primtallenes fordeling. Denne innsikten ledet på slutten av 1800-tallet til den berømte primtallssatsen. Zeta-funksjonen har vært gjenstand for intens forskning siden den gang, men mange grunnleggende spørsmål gjenstår, hvorav Riemann-hypotesen utvilsomt er det mest berømte. Stikkord for emnet: Aritmetiske og multiplikative funksjoner, Abel-summasjon og Möbius-inversjon, Dirichlet-rekker og Euler-produkt, Riemanns zeta-funksjon, funksjonalligningen til zeta-funksjonen, gammafunksjonen, Mellin-transformasjonen og Perrons formel, primtallssatsen, Riemann-hypotesen, Dirichlet-karakterer, Dirichlets teorem for primtall i aritmetiske progresjoner.

1. Kunnskap: Studenten behersker grunnleggende begreper fra analytisk tallteori, herunder utvalgte aritmetiske og multiplikative funksjoner, Abel-summasjon og Möbius-inversjon, Mellin-transformasjonen og Perrons formel, Dirichlet-rekker og Euler-produkt, Dirichlet-karakterer. Studenten kjenner til både den additive og multiplikative definisjonen av Riemanns zeta-funksjon, funksjonalligningen og grunnleggende egenskaper til zeta-funksjonen og gammafunksjonen. Studenten har oversikt over og kan formulere sentrale resultat og uløste problemer, herunder primtallsatsen og Riemann-hypotesen.

2. Ferdigheter: Studenten behersker grunnleggende teknikker i analytisk tallteori, herunder Abel-summasjon og Möbius-inversjon, samt residyregning forbundet med Perrons formel. Studenten er i stand til å lese forskningsartikler innen utvalgte deler av analytisk tallteori.

Forelesninger og øvinger. Studentens besvarelse kan være på norsk eller engelsk. Emnet gis på våren i oddetallsår.